父亲现年 53 岁，女儿现年 28岁。问多少年前，父亲的年龄是女儿年龄的 6 倍？( )
设 \(t\) 年前父亲年龄是女儿的 6 倍，根据年龄关系列方程： \[ 53 - t = 6 \times (28 - t) \] 解得： \[ t = 23 \] 答案： 23
计算：\(1 \tfrac{4}{17} \times(2 \tfrac{2}{3}-\tfrac{3}{4})-\tfrac{6 \tfrac{6}{7}-3 \tfrac{9}{13}}{3 \tfrac{3}{7}-2 \tfrac{2}{11}} \times\tfrac{13}{33}+\tfrac{17+\tfrac{11}{12}}{1-\tfrac{4}{21}}\)，答案用真分数表示。( )
转换带分数为假分数： \[ 1 \tfrac{4}{17}=\tfrac{21}{17}, \quad 2 \tfrac{2}{3}=\tfrac{8}{3}, \quad 6 \tfrac{6}{7}=\tfrac{48}{7}, \quad 3 \tfrac{9}{13}=\tfrac{48}{13}, \quad 3 \tfrac{3}{7}=\tfrac{24}{7}, \quad 2 \tfrac{2}{11}=\tfrac{24}{11} \] 分步计算： \[ \tfrac{8}{3}-\tfrac{3}{4}=\tfrac{23}{12}, \quad \tfrac{48}{7}-\tfrac{48}{13}=\tfrac{288}{91}, \quad \tfrac{24}{7}-\tfrac{24}{11}=\tfrac{96}{77}, \quad 17+\tfrac{11}{12}=\tfrac{215}{12}, \quad 1-\tfrac{4}{21}=\tfrac{17}{21} \] 化简： \[ \tfrac{21}{17} \times \tfrac{23}{12} - \tfrac{288}{91} \div \tfrac{96}{77} \times \tfrac{13}{33} + \tfrac{215}{12} \div \tfrac{17}{21} = \tfrac{161}{68} - 1 + \tfrac{1505}{68} = 23 \tfrac{1}{2} \] 答案： \(23 \tfrac{1}{2}\)
有两堆煤，第一堆比第二堆多 584 吨。当两堆煤各用去 100 吨后，剩下的部分第一堆煤是第二堆煤的 9 倍。问第一堆煤原来有多少吨？( )
设第二堆煤原来有 \(x\)
吨，则第一堆原来有 \(x + 584\)
吨。
用去 100 吨后列方程： \[
(x + 584) - 100 = 9 \times (x - 100)
\] 解得： \[
x = 173
\] 第一堆原重量： \[
173 + 584 = 757
\] 答案： 757
当父亲 51 岁时，儿子 30 岁。现在父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍。儿子现在是多少岁？( )
设儿子现在 \(x\) 岁，则父亲现在 \(4x\) 岁，列方程： \[ 4x - x = 51 - 30 \] 解得： \[ x = 7 \] 答案： 7
有一些苹果和梨。如果按每 8 个苹果 17 个梨分堆，梨分完了还剩下 8 个苹果；如果按每 5 个苹果 6 个梨分堆，苹果分完了还剩 168 个梨。问苹果和梨总共多少个？( )
设第一次分 \(n\) 堆，第二次分 \(m\) 堆： \[ \begin{cases} 8n + 8 = 5m \\ 17n = 6m + 168 \end{cases} \] 由 \(m = \tfrac{8n + 8}{5}\) 得： \[ 17n = 6 \times \tfrac{8n + 8}{5} + 168 \Rightarrow 85n = 48n + 888 \Rightarrow 37n = 888 \Rightarrow n = 24 \] 苹果： \(8 \times 24 + 8 = 200, \quad 梨：17 \times 24 = 408\)。总计： \[ 200 + 408 = 608 \] 答案： 608（苹果200个，梨408个）
在浓度为 40% 的酒精中加入 5 千克水，浓度变为 30%。再加入多少千克纯酒精，浓度才能变为 50%？( )
设原溶液 \(x\) 千克，列方程： \[
0.4x = 0.3(x + 5) \Rightarrow x = 15
\] 酒精质量 \(0.4 \times 15 =
6\) 千克。
设加 \(y\) 千克纯酒精： \[
\tfrac{6 + y}{15 + 5 + y} = 0.5
\] 解得： \[
y = 8
\] 答案： 8
某次数学考试考 5 道题，全班 60 人参加，共做对 179 道题。已知每人至少做对 1 道题，做对 1 道的有 10 人，5 道全对有 8 人，做对 2 道和 3 道的人数一样多，求做对 4 道的有多少人？( )
设做对 2 道和 3 道的各 \(x\) 人，做对 4 道的 \(y\) 人： \[ \begin{cases} 10 + 2x + y + 8 = 60 \\ 10\times1 + 2x + 3x + 4y + 8\times5 = 179 \end{cases} \] 解得： \[ \begin{cases} x = 13 \\ y = 16 \end{cases} \] 答案： 16
有两次自然测验：第一次 40 题，答对 1 题得 5 分，答错或不答倒扣 3 分；第二次 30 题，答对 1 题得 8 分，答错或不答倒扣 2 分。小明两次共答对 53 题，且第一次得分比第二次多 58 分。问总得分？( )
设第一次答对 \(x\) 题，则第二次答对 \(53 - x\) 题。
第一次得分：\(5x - 3(40 - x) = 8x - 120\) 第二次得分：\(8(53 - x) - 2(30 - (53 - x)) = 470 - 10x\)
得分差： \[ (8x - 120) - (470 - 10x) = 58 \Rightarrow x = 36 \] 总分： \[ (8 \times 36 - 120) + (470 - 10 \times 36) = 278 \] 答案： 278（第一次168分，第二次110分）
商店有大、中、小三种球。大球 7 元，中球 5 元，小球 2 元。张老师用 301 元买了 72 个球，其中买中球的钱与买小球的钱相等。问买大球多少个？( )
设中球 \(x\) 个，小球 \(y\) 个，大球 \(72 - x - y\) 个： \[ \begin{cases} 5x = 2y \\ 7(72 - x - y) + 5x + 2y = 301 \end{cases} \] 解得： \[ \begin{cases} x = 14 \\ y = 35 \end{cases} \] 答案： 23（中球14个，小球35个）
计算： \((1-\tfrac{1}{2^{2}}) \times(1-\tfrac{1}{3^{2}}) \times\cdots\times(1-\tfrac{1}{98^{2}})\times(1-\tfrac{1}{99^{2}})\) 答案用真分数表示。( )
利用平方差公式 \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\) ，化简： \[ (1 - \tfrac{1}{2})(1 + \tfrac{1}{2})(1 - \tfrac{1}{3})(1 + \tfrac{1}{3}) \times \cdots \times (1 - \tfrac{1}{99})(1 + \tfrac{1}{99}) \] 中间项抵消： \[ \tfrac{1}{2} \times \tfrac{3}{2} \times \tfrac{2}{3} \times \tfrac{4}{3} \times \cdots \times \tfrac{98}{99} \times \tfrac{100}{99} \] 结果： \[ \tfrac{1}{2} \times \tfrac{100}{99} = \tfrac{50}{99} \] 答案： \(\tfrac{50}{99}\)
1分、2分和5分硬币共133枚，价值4元，如果其中2分硬币的总价值比1分硬币的总价值多85分。问三种硬币各多少枚？1分硬币( )枚，2分硬币( )枚，5分硬币( )枚。
设1分 \(x\) 枚，2分 \(y\) 枚，5分 \(133 - x - y\) 枚，列方程： \[ \begin{cases} x + 2y + 5(133 - x - y) = 400 \\ 2y - x = 85\ \end{cases} \] 解得： \[ \begin{cases} x = 25 \\ y = 55 \end{cases} \] 答案： 1分25枚，2分55枚，5分53枚
算式 \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}\) 的计算结果，小数点后第2008位是数字几？( )
只需考虑：\(\frac{1}{3}，\frac{1}{6}，\frac{1}{7}，\frac{1}{9}\)，其中： \[ \begin{cases} \frac{1}{3} = 0.333\cdots \\ \frac{1}{6} = 0.166\cdots \\ \frac{1}{7} = 0.142857142857\cdots \\ \frac{1}{9} = 0.111\cdots \end{cases} \] 循环节为“253968”。 计算位置： \[ 2008 \div 6 = 334 \text{ 余 } 4 \] 循环节第4位为9。
答案： 9
计算：\(\frac{19 \tfrac{5}{9}+3 \tfrac{9}{10}-5.22}{19 \tfrac{5}{9}-6 \tfrac{27}{50}+5.22} \div (\frac{1993 \times0.4}{1995 \times0.5}+\frac{1.6}{1995})\)，答案用真分数表示。( )
左侧被除数： \[ \frac{ \frac{8800}{450}+\frac{1755}{450}-\frac{2349}{450} } { \frac{176}{9}-\frac{327}{50}+\frac{261}{50} } = 1 \] 右边除数： \[ \left(\frac{1993\times0.4}{1995\times0.5}+\frac{1.6}{1995}\right) =\frac{7972+8}{9975} =\frac{7980}{9975} =\frac{532}{665} =\frac{4}{5} \] 答案： \(1 \tfrac{1}{4}\)
学校有48间宿舍，住着300个学生。宿舍有大中小三种。“大宿舍”住8个学生，“中宿舍”住7个学生，“小宿舍”住5个学生。其中“小宿舍”的数目最多，问“小宿舍”最多有多少间？( )
设大宿舍 \(x\) 间，中宿舍 \(y\) 间，小宿舍 \(z\) 间： \[ \begin{cases} x+y+z=48\\ 8x+7y+5z=300 \end{cases} \Rightarrow y=84-3z,\ x=2z-36 \] 要求 \(x,y \ge 0\)且\(z>\max\{x,y\}\)，得\(18<z<28\)，最大 \(z=27\)。
答案： 27
计算：\(\frac{2 \times3}{1 \times4}+\frac{5 \times6}{4 \times7}+\frac{8 \times9}{7 \times10}+\cdots+\frac{98 \times99}{97 \times100}\)，答案用真分数表示。( )
拆分每一项为： \[ \frac{(3k - 1) \times 3k}{(3k - 2)(3k + 1)} = 1 + \frac{2}{(3k - 2)(3k + 1)} = 1 + \frac{2}{3}\left(\frac{1}{3k - 2} - \frac{1}{3k + 1}\right) \] (\(k=1\)到\(k=33\)，因98=3×33-1)
求和： \[ 33 + \frac{2}{3}\left[\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{97} - \frac{1}{100}\right)\right] = 33 \tfrac{33}{50} \] 答案： \(33 \tfrac{33}{50}\)
六位数18a1b2能被12整除，问有多少种情况？( )
能被12整除=同时被3和4整除：
能被4整除：末两位“b2”能被4整除，\(b = 1,3,5,7,9\)。
能被3整除： \(a+b \equiv 0 \pmod{3}\)。
分类讨论： \[ b=1\Rightarrow a=2,5,8;\quad b=3\Rightarrow a=0,3,6,9; \] \[ b=5\Rightarrow a=1,4,7;\quad b=7\Rightarrow a=2,5,8;\quad b=9\Rightarrow a=0,3,6,9 \] 共 \(3+4+3+3+4=17\)。
答案： 17
小明从甲地到乙地，去时每小时走5千米，回来时每小时走7千米，来回共用了4小时。问小明去时用了多少分钟？( )
设去时 \(t\) 小时，回时 \(4 - t\) 小时： \[ 5t = 7(4 - t) \Rightarrow 12t = 28 \Rightarrow t = \tfrac{7}{3} \] 换算为分钟： \[ \tfrac{7}{3} \times 60 = 140 \] 答案： 140
10个小朋友排成一列，要从中选出3个互不相邻的小朋友，有多少种不同的选法？( )
排7个不选的孩子，形成8个空隙；
从8个空隙中选3个放选中的小朋友： \[ C(8,3) = \tfrac{8\times7\times6}{3\times2\times1} = 56 \] 答案： 56
一个数除以3余1，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数是？( )
除以3余1，除以5余3 \(\Rightarrow N + 2 = 3和5的公倍数\)
3和5最小公倍数为\(LCM(3,5)=3×5=15\)，则满足前两条件的通式为：\[N=15m-2\] 还需满足除以7余4，即：\[15m-2≡4\pmod{7}\] 简化：\[m≡6\pmod{7}\] m最小取6
答案： 88
一个自然数除以7、8、9的余数分别为1、2、3，并且三个商的和是570，求这个自然数是？( )
设自然数为 \(N\)，商分别为 \(a,b,c\)：
\[ N = 7a + 1 = 8b + 2 = 9c + 3,\quad a + b + c = 570 \] 代入： \[ \frac{N - 1}{7} + \frac{N - 2}{8} + \frac{N - 3}{9} = 570 \] 解得： \[ N = 1506 \] 答案： 1506
一个大于1的数 X 去除 280、225、190 时，得余数分别为 a，a+2，a+5。则这个自然数 X 是？( )
根据“被除数 = 除数 × 商 + 余数”，转化为整除关系： \[ 280 - a = Xk,\quad 225 - (a + 2) = Xm,\quad 190 - (a + 5) = Xp \] 两式相减消去 \(a\)： \[ 57 = X(k - m),\quad 38 = X(m - p) \] X 是 57 和 38 的最大公约数（大于 1）： \[ 57 = 3 \times 19,\quad 38 = 2 \times 19 \Rightarrow X = 19 \] 答案： 19
\(2^{2}+3^{3}+4^{4}+\cdots+9^{9}\) 除以 11 的余数是？( )
用费马小定理 \(a^{10} \equiv 1 \pmod{11}\)：
\[ 2^2 \equiv 4,\quad 3^3 \equiv 5,\quad 4^4 \equiv 3,\quad 5^5 \equiv 1 \] \[ 6^6 \equiv 4,\quad 7^7 \equiv 6,\quad 8^8 \equiv 5,\quad 9^9 \equiv 5 \] 总和余数： \[ 4 + 5 + 3 + 1 + 4 + 6 + 5 + 5 = 33 \equiv 1 \pmod{11} \]
答案： 1
三个数：41、75、92，各除以一个大于 1 的自然数，得到同一个余数。求这个除数是？( )
“同余则差整除”：
\[ 75 - 41 = 34,\quad 92 - 75 = 17 \]
除数是 34 和 17 的最大公约数：
\[ 34 = 2 \times 17 \Rightarrow 除数 = 17 \]
验证： \[ 41÷17=2余7,\quad 75÷17=4余7,\quad 92÷17=5余7 \]
答案： 17
\(21 \times 22 \times \cdots \times 99 \times 100\) 的乘积末尾有多少个 0？( )
末尾 0 来自因子 2 与 5 的配对。
统计 5 的倍数个数： \[ 25,30,\dots,100 \Rightarrow \frac{100-25}{5}+1 = 16 \]
25 的倍数含两个 5： \[ 25,50,75,100 共 4 个 \]
总个数： \[ 16 + 4 = 20 \]
答案： 20
已知 3 个合数 A、B、C 两两互质，且 \(A\times B\times C = 2^4 \times 3^2 \times 7 \times 11 \times 13\)，求 \(A+B+C\) 的最大值。( )
两两互质 ⇒ 各数质因数无重叠。
取： \[ A = 2^4 = 16,\quad B = 3^2 = 9,\quad C = 7 \times 11 \times 13 = 1001 \]
总和： \[ 16 + 9 + 1001 = 1026 \]
答案： 1026
构成自然数 A 的所有数字互不相同，这些数字的乘积等于 4320。求 A 的最大值是多少？( )
分解质因数： \[ 4320 = 2^5 \times 3^3 \times 5 \] 组合为互不相同的数字： \[ 9(3^2),\ 8(2^3),\ 6(2\times3),\ 5(5),\ 2(2),\ 1(1) \] 乘积： \[ 9 \times 8 \times 6 \times 5 \times 2 \times 1 = 4320 \]
答案： 986521
求满足条件的最小自然数，使得它的平方的前两位是 20。( )
设自然数为 \(n\)，则： \[ 20 \times 10^k \le n^2 < 21 \times 10^k \]
试算： \[ 44^2 = 1936,\quad 45^2 = 2025 \]
答案： 45
求最小的正整数 \(n\)，使得 \(2006 + 7n\) 是完全平方数。( )
设： \[ 2006 + 7n = m^2 \]
试算： \[ 44^2=1936,\ 45^2=2025(差19)，46^2=2116(差110)，47^2=2209(差203) \]
203 ÷ 7 = 29，为整数。
答案： 29
有一个自然数，它加上 100 后是一个完全平方数，加上 168 后也是一个完全平方数。求这个自然数是多少？( )
设自然数为 \(x\)：
\[ x + 100 = a^2,\quad x + 168 = b^2 \] 相减： \[ b^2 - a^2 = 68 \Rightarrow (b - a)(b + a) = 68 \] 取偶数解： \[ b - a = 2,\ b + a = 34 \Rightarrow b = 18,\ a = 16 \] \[ x = a^2 - 100 = 256 - 100 = 156 \]
答案： 156
\((1\times2\times3\times\cdots\times25\times26)\times35\) 中至少删掉多少个数，才能使得结果为完全平方数？( )
分解： \[ 1\times2\times\cdots\times26\times35 = 26! \times 5 \times 7 \]
观察质因数中奇次幂： 2、5、7、13 为奇次。
每删掉一个含此质因数的数，可抵消一次奇次幂。
需删掉： \[ 4 \text{ 个数} \]
答案： 4